«Загадочная бутылка Клейна»

3 этап сетевого проекта

«Геометрическая рапсодия»

Команда «Умники» МБОУ СОШ №14

Научная деятельность

Научная деятельность Феликса Клейна

«Математика является вполне живой наукой,

которая беспрестанно включает в себя всё новые проблемы,

обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и,

таким образом, она всё вновь и вновь омолаживается». (A. Клейн)

Немецкий математик и педагог, Ф. Клейн, родился 25 апреля 1849 года в старинном городе Дюссельдорфе. Здесь же окончил начальную школу и гимназию. Увлекаясь математикой и физикой, в 1865 году Клейн поступил в Боннский университет, где в 1868 году защитил свою первую диссертацию под научным руководством профессора Ю. Плюкера. После его смерти Феликс знакомится с профессором Гёттингенского университета Клебшем и со своими будущими друзьями: М. Нётером и норвежским геометром Софуса Ли. В январе 1871 года Клейн в Гёттингене защитил свою вторую докторскую работу и получил звание приват-доцента.

Осенью 1872 года стал профессором Эрлангенского университета и выступил с «Эрлангенской программой», переведенную и на русский язык. В программе Ф. Клейн предложил применить в геометрии алгебраическую теорию групп, после этого нему пришла известность. В течение последующих трех лет Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Его работы в основном печатались в журнале «Математические анналы», редактором которого он стал после Клебша в 1875 году. Через журнал он установил деловые отношения не только с немецкими, но и с иностранными математиками.

Весной 1875 года Клейн занял должность профессора в Техническом университете Мюнхена, где организовал «Математический кружок», просуществовавший до 1936 года. Осенью 1880 года стал профессором геометрии в Лейпцигском университете, в котором организовал читальный зал с новейшей математической литературой и кабинет наглядных пособий – разнообразных геометрических гипсовых моделей.

Он первым строго доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского. В 1882 году Ф. Клейн создал пример односторонней поверхности — «бутылку Клейна». Он напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии. Позже он исследовал автоморфные функции, теорию волчка.

Весной 1886 года стал профессором в Гёттингенском университете. Его лекции пользовались большой популярностью. Клейн подготовил к изданию в виде книг тексты своих лекций. В 1889 году помогал Георгу Кантору в создании «Немецкого математического общества», которое существует и в наше время. Над этим планом Клейн начал трудиться ещё в 1871-1873 годах, и до конца своей жизни не жалел для Общества своих сил и времени. При жизни Клейна вышел трёхтомник его Собрания сочинений. Клейн участвовал в издании полного собрания сочинений Гаусса и первой Математической энциклопедии. В 1892 году наконец – то осуществляет свою мечту о преобразовании своего любимого Гёттингена в новый центр математики и физики. В начале XX века Клейн занимался проблемами школьного преподавания математики и подготовку учителей.

Скончался Ф. Клейн 22 июня 1925 года.

Именем Феликса Клейна названы: математический центр в Германии, кратер на обратной стороне Луны, приз Европейского математического общества и Технологического университета Кайзерслаутерна (присуждается молодым математикам Европы в ходе Европейского математического конгресса (каждые 4 года) за практически полезные работы в области прикладной математики), медаль Международной комиссии по математическому образованию.

Имя Клейна носят следующие математические объекты: бутылка (поверхность) Клейна, группа Клейна, модель (интерпретация) Клейна.

Бутылка Клейна –

это неориентируемая определенная поверхность

Бутылка Клейна описана немецким ученым Ф. Клейном в 1882 году и с этого времени входит в галерею загадочных, удивительных и увлекательных математических форм.

В немецком языке слова «поверхность» и «бутылка» звучат похоже (Flache и Flasche, соответственно), отсюда и название модели.

Бутылка Клейна представляет собой трёхмерный вариант ленты Мёбиуса. Она закрыта и не имеет границ, и у неё нет ни внутренней, ни наружной поверхности.

Изгибать бутылку можно как угодно. От этого она, как и лист Мёбиуса, своих характерных свойств не теряет.

Бутылка Клейна

Свойства

Изготовление

Примеры использования бутылки Клейна

Изготовление бутылки Клейна из стекла достаточно трудоёмко и сложно. В форме бутылки Клейна стеклодувы - универсалы отливают бутылки в качестве сувениров.

Встречаются дизайнерские объекты, выполненные в форме бутылки Клейна:

aHR0cHM6Ly9tcmdlZWsucnUvaW1hZ2VzL3Byb2R1

открывалки светильник скульптуры сумка шапка

Австралийский архитектор и дизайнер Чарльз Райн МакБрайд построил недалеко от Мельбурна дом, который назвал «Бутылка Клейна»:

Бутылка Клейна упоминается:

в сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» (на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна);
в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» (в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения);
в рассказе писателя Дэна Шорина «Бутылочка профессора Клейна» (в качестве сюжетообразующего элемента рассматривается гомеоморфность бутылки Клейна);
в рассказе Брюса Эллиота «Последний иллюзионист» (бутылка Клейна используется для мести фокусника);
в книге Александра Митича «Игра в поддавки» (герои попадают в пространство, подобное бутылке Клейна);
в юмористическом стихотворении Виктора Лебедева.

Свойства бутылки Клейна:

Бутылка Клейна является двумерным неориентируемым многообразием. Эта поверхность, в отличие от листа Мёбиуса, является замкнутым многообразием, то есть у неё нет краёв.
Односторонность.Бутылка Клейна является односторонней поверхностью, число её сторон равно единице, так же и лист Мёбиуса имеет одну сторону.
Связность. Связность принято оценивать числом Бетти (число разрезов, которые можно провести так, чтобы поверхность не распалась на два отдельных куска). Число Бетти бутылки Клейна равно двум, лента Мебиуса так же двухсвязна.
«Хроматический номер». Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести, хроматическое число бутылки Клейна то же равно шести, т. е. на данных поверхностях можно так расположить 6 областей разных цветов, чтобы 5 областей имели общие границы с шестой областью.
Неориентированность.Бутылка Клейна и лист Мёбиуса неориентируемы.
Бутылка Клейна не может быть вложена в трёхмерное евклидово пространство Е3 (только погружена), но вкладывается в четырехмерное Е4.
Бутылка Клейна может быть получена склеиванием по краю двух лент Мёбиуса. Но в обычном трехмерном евклидовом пространстве Е3 сделать это невозможно, не создав самопересечения.

Изготовление бутылки Клейна из бумажного прямоугольника:

1 шаг. Берем бумажный прямоугольник и сгибаем его пополам.

2 шаг. Склеиваем скотчем стороны прямоугольника и получаем цилиндр.

3 шаг. Откладываем от края цилиндра четверть его высоты и на обращенной к нам половине делаем прорезь.

4 шаг. Пропускаем через прорезь нижний край цилиндра и соединяем его с верхним краем.

В результате получаем бумажную модель бутылки Клейна.

Примеры использования

Источники

Информационные источники:

1. Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения. — М.: Мир, 1971. — 507 с.

2. Марушина, Т. Д. Разрезание лент // Исследования в области естественных наук. 2014. № 7

3. Пономарева, Е. И., Первушкина Е. А. Развитие креативности школьников при обучение математике в 5–6 классах с использованием интерактивных геометрических средств // Перспективы науки. — 2011. — № 16. — с. 27–34.

4. Сангалова, М. Е. Использование эксперимента при изучении топологических свойств поверхностей // Сборник научных трудов Sworld. — 2011. — Т. 23. — № 1. — с. 73 — 77.

5. С. Барр. Россыпи головоломок. - М.:Мир, 1987.

https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/52754

https://studfiles.net/preview/2281108/

http://www.newsland.ru/index/search/

http://berkovich-zametki.com/2008/Starina/Nomer6/Berkovich1.php